基本情報技術者試験「分散の加法性」の問題
互いに独立な確率変数XとYがあり、Xの分散は3、Yの分散は5である。確率変数X+Yの分散はいくらか。
ア分散は8になる
イ分散は4になる
ウ√8(=約2.83)
エ分散は15と求まる
正解
ア．分散は8になる
XとYが独立のとき共分散は0なので、V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)=V(X)+V(Y)となる。よって3+5=8で正しい。
?選択肢ごとの解説
ア ○XとYが独立のとき共分散は0なので、V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)=V(X)+V(Y)となる。よって3+5=8で正しい。
イ ×4はXとYの分散の平均(3+5)/2=4を答えた誤りで、和の分散は平均ではなく合計である。
ウ ×√8は分散8の平方根すなわち標準偏差であり、分散を問われているのに標準偏差を答えた取り違えである。
エ ×15は3×5の積で、和の分散を積で求めてしまった誤りである。独立な和は分散を足す。
✎くわしく
分散の加法性はXとYが独立(無相関)で共分散0のときに成立し、V(X+Y)=V(X)+V(Y)となる。一方、定数倍はV(aX)=a^2V(X)と係数が2乗で効く。和は足す・係数は2乗、という違いを区別することが重要である。
✓本番での押さえどころ
試験のコツ
独立な和は『分散をそのまま加算』、定数倍は『係数の2乗を掛ける』。標準偏差で答えない点にも注意する。
覚え方
独立な和は『散らばりが重なって増える=足す』、定数倍は『拡大率の2乗で効く』と覚える。
よくある誤り
分散を掛け算する、平均をとる、または標準偏差(平方根)と混同する誤りが多い。独立なら『分散は素直に足す』。
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ukamiru 過去問 · 基本情報技術者試験 · fe-a3-0102