基礎理論
基本情報技術者試験｜述語論理で「すべての x について P(x) が成り立つ」という命題の否定
述語論理で「すべての x について P(x) が成り立つ」という命題の否定として正しいものはどれか。
アすべての x について P(x) が成り立たない
イすべての x について P(x) が成り立つ、と変わらない
ウある x が存在して P(x) が成り立たない
エある x が存在して P(x) が成り立つ
正解
ウ．ある x が存在して P(x) が成り立たない
「すべてのxでP(x)」が偽になるのは、反例が1つでもある場合である。否定は∃x ¬P(x)、すなわち『P(x)が成り立たないxが存在する』となり正しい。
?選択肢ごとの解説
ア ×『すべてのxでP(x)が成り立たない』は∀x ¬P(x)であり、1つの反例どころか全否定を要求するため元命題の否定より強すぎて誤りである。
イ ×否定して元と同じになることはあり得ず、量化子も否定も付けない論理的に誤った主張である。
ウ ○「すべてのxでP(x)」が偽になるのは、反例が1つでもある場合である。否定は∃x ¬P(x)、すなわち『P(x)が成り立たないxが存在する』となり正しい。
エ ×『あるxでP(x)が成り立つ』は∃x P(x)であり、元命題の否定ではなく一部成立を述べる別の命題である。
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作成・校閲：ukamiru編集部 · 基本情報技術者試験 過去問 · fe-a3-0087