基本情報技術者試験「命題論理」の問題
命題「P ならば Q」と論理的に等しい(常に同じ真理値をとる)命題はどれか。
アQ ならば P という前提と結論を入れ替えた逆の命題が成り立つ
イQ でないならば P でない、という対偶の命題
ウP でないならば Q でない、という裏の命題
エP かつ Q が同時に成り立つこと
正解
イ．Q でないならば P でない、という対偶の命題
命題「P→Q」は対偶「¬Q→¬P」と真理値表が完全に一致する。前提と結論を入れ替えて両方否定する操作が対偶で、元命題と必ず同値になるため正しい。
?選択肢ごとの解説
ア ×「Q→P」は逆命題であり、元命題が真でも逆が真とは限らないため論理的に等価ではない。
イ ○命題「P→Q」は対偶「¬Q→¬P」と真理値表が完全に一致する。前提と結論を入れ替えて両方否定する操作が対偶で、元命題と必ず同値になるため正しい。
ウ ×「¬P→¬Q」は裏命題であり、これも元命題とは独立で同値にならない(裏は逆と同値)。
エ ×「P かつ Q」は連言であり含意とは別の論理結合で、Pが偽のとき元命題は真でも連言は偽になり真理値が異なる。
✎くわしく
含意P→Qは『Pが真でQが偽のときだけ偽』。元命題と同値なのは対偶だけで、逆(Q→P)と裏(¬P→¬Q)は互いに同値だが元命題とは一般に同値でない。この4命題の関係整理が核心である。
✓本番での押さえどころ
試験のコツ
対偶=『入れ替えて両方否定』。証明で直接示しにくいときは対偶を示すと同値性が保証される点も覚える。
覚え方
対偶は『矢印を逆にして両端にNOTを付ける』とイメージし、元と同値になる唯一の変形と紐づける。
よくある誤り
対偶・逆・裏を取り違える誤りが頻出。『対偶だけが元と同値、逆と裏は互いに同値』と固定して覚える。
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ukamiru 過去問 · 基本情報技術者試験 · fe-a3-0086