基本情報技術者試験「再帰」の問題
次の擬似言語は、n 枚の円盤を 3 本の杭を使って移す「ハノイの塔」で、1 枚を動かすたびに move を 1 回呼ぶ。hanoi(6, A, C, B) を実行したとき、move が呼ばれる総回数はどれか。
○手続: hanoi(整数型: n, 杭: from, 杭: to, 杭: via)
if (n が 0 と等しい)
return
endif
hanoi(n - 1, from, via, to)
move(from, to)
hanoi(n - 1, via, to, from)ア32 回
イ36 回
ウ63 回
エ64 回
正解
ウ．63 回
ハノイの塔の移動回数 T(n) は T(n)=2·T(n-1)+1、T(0)=0 を満たし、解くと T(n)=2 の n 乗 − 1 である。n=6 で 2 の 6 乗 − 1 = 63 回となるため ウが正しい。
?選択肢ごとの解説
ア ×2 の 5 乗 = 32 であり、n を 5 と取り違える、または −1 と指数を同時に誤った誤りである。
イ ×6×6=36 のように n を二乗するなどして、指数関数的な増加を多項式と取り違えた誤りである。
ウ ○ハノイの塔の移動回数 T(n) は T(n)=2·T(n-1)+1、T(0)=0 を満たし、解くと T(n)=2 の n 乗 − 1 である。n=6 で 2 の 6 乗 − 1 = 63 回となるため ウが正しい。
エ ×2 の 6 乗 = 64 であり、最後の −1（基底 T(0)=0 による補正）を忘れた off-by-one の誤りである。
✎くわしく
ハノイの塔は『n-1 枚を退避→1 枚を移動→n-1 枚を戻す』の構造から漸化式 T(n)=2T(n-1)+1 が立ち、閉じた式 2 の n 乗 − 1 になる。−1 の有無が典型的な誤答源である。
✓本番での押さえどころ
試験のコツ
小さい n（T(1)=1, T(2)=3, T(3)=7）で 2 の n 乗 − 1 を確認してから n=6 に適用する。
覚え方
『ハノイは 2 の n 乗から 1 引く』と公式ごと暗記する。
よくある誤り
2 の n 乗そのまま（−1 忘れ）、n を取り違える、指数を多項式と混同するミスが多い。
アルゴリズムとプログラミングの他の問題
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ukamiru 過去問 · 基本情報技術者試験 · fe-b-algo-0043