基本情報技術者試験「平衡木の高さ」の問題
平衡が保たれた2分探索木に約100万個の要素を格納したとき、根から葉までの高さ(段数)はおよそどの程度になるか。なおlog2(10^6)はおよそ20である。
ア約100万段
イ約20段
ウ約1000段
エ約50万段
正解
イ．約20段
平衡2分探索木では各段でノード数がほぼ2倍ずつ増えるため、n個を収める高さは約log2(n)になる。n=10^6でlog2(10^6)≒20なので高さは約20段で正しい。
?選択肢ごとの解説
ア ×約100万段は要素数nがそのまま高さになる場合で、これは木が一直線に偏った最悪ケースに相当し、平衡が保たれた木には当てはまらない。
イ ○平衡2分探索木では各段でノード数がほぼ2倍ずつ増えるため、n個を収める高さは約log2(n)になる。n=10^6でlog2(10^6)≒20なので高さは約20段で正しい。
ウ ×約1000段はおよそ√(10^6)に近い値で、平方根的に増えると取り違えた誤りであり、高さは対数的にしか増えない。
エ ×約50万段はn/2に相当し、各段で半分しか減らないと誤った見積りで、実際は段ごとにノード数が倍増し対数高さになる。
✎くわしく
平衡木の高さがlog2(n)になるのは、第k段までに最大2^k-1個のノードを置けるためである。100万個でも約20段に収まるので、根からの比較回数も約20回で済み探索はO(log n)になる。偏った木の高さO(n)との差が、平衡化の価値を示す。
✓本番での押さえどころ
試験のコツ
覚えておく目安: log2(1000)≒10、log2(100万)≒20、log2(10億)≒30。要素が1000倍でも高さは+10段程度と捉える。
覚え方
段が1増えるごとに収容数が倍、だから100万でも紙を約20回折る感覚=約20段、と倍々でイメージする。
よくある誤り
高さを要素数や√nに比例すると誤る例が多い。『各段で約2倍=高さはlog2(n)』を押さえれば防げる。
アルゴリズムとプログラミングの他の問題
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ukamiru 過去問 · 基本情報技術者試験 · fe-a3-0130